Evghenij Kurtsev intraprende lo studio della danza all'Accademia di arte coreografica di Kiev in Ucraina, perfezionandosi successivamente nella sua città natale, Mosca, all'Accademia di Stato del Teatro Bol'šoj con Pyotr Pestov e Asaaf Messerer.
Dal 1993 al 1995 danza con il Corpo di ballo del Théâtre du Châtelet di Parigi diretto da Carolyn Carlson. Dal 1995 al 1996 si esibisce al Teatro dell'Opera di Nizza e prende parte agli spettacoli Le Sacre du printemps, Il Cappello a tre punte, Parade di Lorca Massine, Lo Schiaccianoci di Ronald Hynd.
Nel 1997 con il Corpo di ballo del Teatro alla Scala di Milano danza in Cenerentola di Nureyev, Van Gogh di Giuseppe Carbone e nel Mandarino meraviglioso di Micha Van Hoecke.
Nel 1998 è al Teatro dell'Opera di Roma in Don Quixote di Nureyev e prende parte alla tournée italiana con la Compagnia Balletto di Milano.
Dal 1999 entra a far parte del Corpo di ballo dell'Arena di Verona, con cui si esibisce come Primo ballerino in numerose produzioni, in scena all'anfiteatro Arena, al Teatro Filarmonico, al Teatro Romano e al Teatro Nuovo, tra le quali: La Vedova allegra di Lehár, coreografia di Brian Bullard; La Tempesta di Fabrizio Monteverde; Dylan Dog di David Parker; Coppelia, Giselle, Stelle di oggi, stelle di domani, Gala d'autunno, Jardin aux lilas, La Vedova allegra di Maria Grazia Garofoli; I Due gentiluomini di Verona di Stefano Gianetti; Laudes Evangelii di Massine; Alma Latina.
Tra il 2004 e il 2005 è in tournée con il Teatro Mariinskij di San Pietroburgo in Giappone con Bayadère di Petipa. Tra il 2005 e il 2006 si esibisce con il Corpo di ballo del Teatro dell'Opera di Roma, danzando: Nozze di sangue e Re Lear, il matto e le sue tre figlie di Luc Bouy, Lo Schiaccianoci di Jean-Yves Lormeau, Cenerentola e Giselle di Carla Fracci, La Vestale e La Bella addormentata di Paul Chalmer, Faust di Luciano Cannito, Il Lago dei cigni di Galina Samsova, e Serata Balanchine - Nijinskij.
Dal 2006 con Fondazione Arena, interpreta ruoli di Primo ballerino in numerosi spettacoli di balletto: Cenerentola, Il Sogno veneto di Shakespeare, Pierino e il lupo, La Storia di Babar l'elefantino, Il Corsaro, Blue Moon, Omaggio a Rota di Garofoli; Romeo e Giulietta di Amedeo Amodio, Sogno di una notte di mezza estate di Francesco Ventriglia, Omaggio a Stravinsky, Omaggio a Ravel e Schiaccianoci à la carte di Renato Zanella; prende parte ad opere liriche quali Cin-ci-là di Carlo Lombardo/Virgilio Ranzato, coreografia di Sandhya Nagaraja, Il Paese dei Campanelli di Ranzato, coreografia di Garofoli ed ai gala Notte di Stelle e Nel Cuore del Novecento al Teatro Filarmonico.
All'Arena di Verona danza in numerose opere tra le quali Aida di Verdi, coreografia di Susanna Egri, Turandot di Puccini e La Traviata di Verdi. Partecipa inoltre ai Gala della lirica 2011 e 2012 in Arena, condotti da Antonella Clerici e trasmessi in televisione.
Nel 2013 diventa Primo ballerino del Corpo di Ballo della Fondazione Arena di Verona.
